这篇博客我将介绍数论中的扩展欧几里得算法(extended Euclidean algorithm ),以及其在**解线性同余方程(乘法逆元)**中的运用.

首先要了解几个概念: 欧几里得算法 扩展欧几里得算法 线性同余方程

欧几里得算法是一种求解两个正整数a, b的最大公因子(一般记为gcd,gcd(a, b) )的方法,这个方法最早被记载在欧几里得的«几何原本»中. 扩展欧几里得算法是在欧几里得算法的基础上扩展的一种算法.我们知道了 a 和 b 的最大公约数是 gcd ,那么,我们一定能够找到这样的 x 和 y ,使得: ax + by = gcd 这是一个不定方程(一种丢番图方程).扩展欧几里得算法就这求这样的x, y 的. 线性同余方程是最基本的同余方程,“线性”表示方程的未知数次数是一次.它的表现形式是这样的: 设x是未知整数, 形如 ax ≡ b(mod m) 的同余式称为一元线性同余方程. 加下来我将介绍使用扩展欧几里得算法解b = 1时的同余方程, 未知数为 x ,x又称为a的乘法逆元. 乘法逆元是当b = 1时的解 x , 可以这样理解: ax ≡ 1(mod m) 我们称 x 是a关于m的乘法逆元

那么,从欧几里得算法开始.学习算法过程中,欧几里得算法大概是我接触到的第一个算法

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int gcd(int a, int b)
{
	if( b==0 ) return a;
	else return gcd(b,a%b);
}

函数返回的是a, b的最大公约数,一般用gcd(a,b)来表示,数论中一般用(a,b)来表示a,b的最大公约数 由于此算法较为基础,在此不过多赘述.

但,需要了解的是,扩展欧几里算法就是在欧几里得算法的基础上加以扩展形成的.

我们首先要知道这样一个结论: a 和 b 的最大公约数是 gcd ,那么,我们一定能够找到这样的 x 和 y ,使得: ax + by = gcd(a,b) 扩展欧几里得算法的作用就是求这样的x, y的.它的解是无限的,我们可以这样表示它的通解:

 x = x0 + (b/gcd)*t;
 y = y0 - (a/gcd)*t;

为什么不是:

x = x0 + b*t;
y = y0 - a*t;
?

我们要知道,这个通解中未知数的表达式的运算过程是互相抵消的.如:

    (b/gcd) *t *a - (a/gcd) *t *b = 0;

而如果a, b不是互质的, 另一种形式那么会漏掉一些解.读者自己斟酌.(具体证明博主也不知如何是好)

如何求解呢? 只需要在欧几里德算法的基础上加点改动就行了。

下面引自一篇博客

我们观察到:欧几里德算法停止的状态是: a= gcd , b = 0 ,那么,这是否能给我们求解 x y 提供一种思路呢?因为,这时候,只要 a = gcd 的系数是 1 ,那么只要 b 的系数是 0 或者其他值(无所谓是多少,反正任何数乘以 0 都等于 0 但是a 的系数一定要是 1),这时,我们就会有: a1 + b0 = gcd

当然这是最终状态,但是我们是否可以从最终状态反推到最初的状态呢?

假设当前我们要处理的是求出 a 和 b的最大公约数,并求出 x 和 y 使得 ax + by= gcd ,而我们已经求出了下一个状态:b 和 a%b 的最大公约数,并且求出了一组x1 和y1 使得: b*x1 + (a%b)*y1 = gcd , 那么这两个相邻的状态之间是否存在一种关系呢?

我们知道: a%b = a - (a/b)*b(这里的 “/” 指的是整除,例如 5/2=2 , 1/3=0),那么,我们可以进一步得到:

  gcd = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1
 
      = b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1
 
      = a*y1 + b*(x1 – a/b*y1)

对比之前我们的状态:求一组 x 和 y 使得:ax + by = gcd ,是否发现了什么?

这里:

  x = y1
 
  y = x1 – a/b*y1
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int ex_gcd( int a, int b, int &x, int &y )
{
	if( b==0 ){
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	int ans = ex_gcd(b,a%b,x,y);
	int tmp = x;
	x = y;
	y = tmp - a/b*y;
	return ans;
}

欧几里得算法只能求a, b的最大公因数,而扩展欧几里得算法不仅可以求gcd(a,b),还可以求出a* x + b* y = gcd的通解只需在欧几里得算法的基础上稍加改动 然而,求通解有什么用呢? 我将介绍扩展欧几里得算法的一个应用,那就是前面提到过的解乘法逆元.

对于

ax ≡ 1(mod m)

我们称 x 是a关于m的乘法逆元 这和扩欧有什么关系呢?可以看到这个式子和a* x + b* y = gcd = 1是有些类似的 可以等价于这样的表达式: a* x + m* y = 1 a* x + b* y = gcd = 1, 说明a, b互质, 那么推广的式子a* x + m* y = 1中, a, m也是互质的 当gcd(a, m) != 1时,x是无解的.

乘法逆元式子中, 已知a, m, 那么就可以利用扩展欧几里得算法求解x了. 算法如下:

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#include <iostream>
using namespace std;

int ex_gcd( int a, int b, int &x, int &y )
{
	if( b==0 ){
		x = 1, y = 0;//递归到终止条件, 初始化x, y
		return a;
	}
	int ans = ex_gcd(b,a%b,x,y);//继续递归,此前不对x, y进行操作
	int temp = x;
	x = y;
	y = tmp - a/b*y;//利用推导出的两个相邻状态的代换式进行迭代
	return ans;
}

int main( )
{
	int a, b, x, y;
	cin >> a >> b;
	if( ex_gcd(a,b,x,y)==1 ){
		cout << (x+b)%b; 
	}
}

注意,在ex_gcd()中求得的x可能为负值,因此采用了 cout « (x+b)%b; 这样的输出方式,输出x最小的正整数解

到这里就结束了,我们讲了什么呢?

欧几里得算法
扩展欧几里得算法
线性同余方程中一种特殊情况:乘法逆元 

这是我在CSDN发表的的第一篇博客,有很多不足.如果没看懂的话,欢迎看这篇文章 扩展欧几里德算法详解 博主讲的很清楚, 对我启发很大.